人教版小学六年级数学知识点梳理(上下册)

六年级上册

  • 一、分数的乘法
  • 二、位置与方向
  • 三、分数除法
  • 四、比
  • 五、圆
  • 六、百分数
  • 七、扇形统计图
  • 八、数学广角——数与形

第一单元分数乘法

一、分数乘法

(一)分数乘法的意义:

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例如:65×5表示求5个65的和是多少?1/3×5表示求5个1/3的和是多少?

2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。例如:1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。4×3/8表示求4的3/8是多少。

(二)、分数乘法的计算法则:

1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分)

2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。

3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。(尽量约分,不会约分的就不约,常考的质因数有11×11=121;13×13=169;17×17=289;19×19=361)

4、小数乘分数,可以先把小数化为分数,也可以把分数化成小数再计算(建议把小数化分数再计算)。

( 三)、乘法中比较大小的规律
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。

(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律: (a+b)×c=ac+bc

二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),即求单位“1”的几分之几是多少)

1、画线段图:(1)两个量的关系:画两条线段图,先画单位一的量,注意两条线段的左边要对齐。(2)部分和整体的关系:画一条线段图。

2、找单位“1”:单位“1”在分率句中分率的前面;或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。

3、写数量关系式的技巧:(1)“的”相当于“×”,“占”、“相当于”“是”、“比”是 “=”(2)分率前是“的”字:用单位“1”的量×分率=具体量例如:甲数是20,甲数的1/3是多少?列式是:20×1/3

4、看分率前有没有多或少的问题;分率前是“多或少”的关系式:(比少):单位“1”的量×(1-分率)=具体量;

例如:甲数是50,乙数比甲数少1/2,乙数是多少?列式是:50×(1-1/2)(比多):单位“1”的量×(1+分率)=具体量,例如:小红有30元钱,小明比小红多3/5,小红有多少钱?列式是:50×(1+3/5)

3、求一个数的几倍是多少:用一个数×几倍;

4、求一个数的几分之几是多少:用一个数×几分之几。

5、求几个几分之几是多少:用几分之几×个数

6、求已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个部分量的方法:

(1)、单位“1”的量×(1-分率)=另一个部分量(建议用)

(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量例如:教材15页做一做和16页练习第七题(题目中有时候会有这种题的关键字“其中”)

第二单元位置与方向(二)

一、确定物体位置的方法:

  • 1、先找观测点;
  • 2、再定方向(看方向夹角的度数);
  • 3、最后确定距离(看比例尺)

二、描绘路线图的关键是选好观测点,建立方向标,确定方向和
路程。

三、位置关系的相对性:1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时,观测点不同,叙述的方向正好相反,而度数和距离正好相等。

四、相对位置:东–西;南–北;南偏东–北偏西。

第三单元分数除法

三、倒数

1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。

强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数)。

2、求倒数的方法:

  • (1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。
  • (2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
  • (3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。
  • (4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。

3、1的倒数是1;因为1×1=1;0没有倒数,因为0乘任何数都得0,(分母不能为0)

4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。

5、运用,a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数。

1、分数除法的意义:

乘法:因数×因数=积

除法:积÷一个因数=另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。3、分数除法比较大小时的规律:

(1)当除数大于1,商小于被除数;

(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;

(3)当除数等于1,商等于被除数。“[]”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。

二、分数除法解决问题

1,解法:

(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。解:设未知量为X(一定要解设),再列方程用X×分率=具体量例如:公鸡有20只,是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。(单位一是母鸡只数,单位一未知.)解:设母鸡有X只。列方程为:X×1/3=20

(2)算术(用除法):单位“1”的量未知用除法:即已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。分率对应量÷对应分率=单位“1”的量例如:公鸡有20只,是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。(单位一是母鸡只数,单位一未知)用除法,列式是:20÷1/3

2、看分率前有没有比多或比少的问题;

分率前是“多或少”的关系式:(比少):具体量÷(1-分率)=单位“1”的量;例如:桃树有50棵,比苹果树少1/6,苹果树有多少棵。列式是:50÷(1-1/6)(比多):具体量÷(1+分率)=单位“1”的量例如:一种商品现在是80元,比原价增加了1/7,原价多少?列式是:80÷(1+1/7)

3、求一个数是另一个数的几分之几是多少:用一个数除以另一个数,结果写为分数形式。例如:男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的几分之几。列式是:15÷20=15/20=3/4

4、求一个数比另一个数多几分之几的方法:用两个数的相差量÷单位“1”的量=分数

①求一个数比另一个数多几分之几:用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为分数形式。例如:5比3多几分之几?(5-3)÷3=2/3

②求一个数比另一个数少几分之几:用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为分数形式。例如:3比5少几分之几?(5-3)÷5=2/5说明:多几分之几不等于少几分之几,因为单位一不同。

5、工程问题:把工作总量看作单位“1”,合做多长时间完成一项工程用1÷效率和,即1÷(1/时间+1/时间),(工作效率=1/时间)例如:一项工程甲单独做要5天完成,乙单独做要10天完成,甲单独做要3天完成,三人合做几天可以完成?列式:1÷(1/5+1/10+1/3)

第四单元、比

(一)、比的意义

1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

例如15:10=15÷10=3/2(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)15∶10=3/2前项比号后项比值

3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。例:长是宽的几倍。也可以表两个不同量的比,得到一个新量。例:路程÷速度=时间。

4、区分比和比值

比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。

5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。

7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。

8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。9、体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。10、求比值:用前项除以后项,结果最好是写为分数(不会约分的就不约分)例如:15∶10=15÷10=15/10=3/2

(二)、比的基本性质

1、根据比、除法、分数的关系: 商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。

2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。

3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。

例如:15∶10=15÷10=15/10=3/2=3∶2还可以15∶10=15÷10=3/2最简整数比是3∶2

5、比中有单位的,化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值,结果没有单位。

6.按比例分配:

把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。一般有两种解题法1,用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一,即转化成分率。要先求出总份数,再求出几份占总份数的几分之几,最后再用总量分别乘几分之几。例如:有糖水25克,糖和水的比为1:4,糖和水分别有几克?1+4=5糖占1/5用25×1/5得到糖的数量,水占4/5用25×4/5得到水的数量。2,用份数解:要先求出总份数,再求出每一份是多少,最后分别求出几份是多少。例如:有糖水25克,糖和水的比为1:4,糖和水分别有几克?糖和水的份数一共有1+4=5一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4

第五单元圆的认识

一、认识圆形

1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。

3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。

6、在同一个圆内或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。

7、在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的1/2。
用字母表示为:d=2r或r=d/2

8、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

10、只有1条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是:长方形;只有3条对称轴的图形是:等边三角形;只有4条对称轴的图形是:正方形;有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。

11、画对称轴要用铅笔画,同时要用尺子(三角板)画出虚线,这条虚线两端要超出图形一点。

二、圆的周长

1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。

2、圆周率实验:(滚动法)在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,得到圆的周长。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长(测绳法)。发现,圆周长与它直径的比值(圆周长除以直径)是一个固定数
即3倍多一点,我们把它叫做圆周率用字母π表示。

3、圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π(pai)表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

  • (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈3.14。
  • (2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍。

4、圆的周长公式:圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C=πd(1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率,用字母表示d=C÷π或圆的周长等于2乘圆周率乘半径,用字母表示C=2πr(2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的2倍,用字母表示r=C÷2π(r=C/2π)

5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长:

  • 周长的一半:等于圆的周长÷2计算方法:2πr÷2即C半=πr
  • 半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:半圆的周长=5.14r(推导过程C=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=5.14r

三、圆的面积

1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。

2、圆面积公式的推导:(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半,长方形的宽相当于圆的半径。(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

3、圆面积的计算方法:因为:长方形面积=长×宽所以:

圆的面积=圆周长的一半×圆的半径即S圆=C÷2×r=πr×r=πr2

圆的面积公式:S圆=πr2

4、环形的面积:一个环形,外圆的半径用字母R表示,内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度.) S环=πR2-πr2(注意是R的平方,编辑不出来) 或环形的面积公式:S环=π(R2-r2)(用这个公式,可以简化步骤)(注意是R的平方,编辑不出来)。

5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面
积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大3的平方倍得到9倍。

6、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。例如:两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9

7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4∶π

8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆的周长最短。

9、常用各π值结果:π=3.14;2π=6.28;5π=15.7

10、外方内圆(内切圆)公式S=0.86r2推导过程:S=S正-S圆=d2-πr=2r×2r2-r2=4r2-πr2=r2×(4-π)=0.86r2

11、外圆内方(外切圆)公式S=1.14r2推导过程:S=S圆-S正=πr2-dr/2×2=2r×r/2×r=πr2-2r2=r2×(π-2)=1.14r2 (把正方形看成两个面积相等的三角形,三角形的底就是直径,高是半径)

12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。

13、S扇=S圆×n/360;S扇环=S环×n/360

14、扇形也是轴对称图形,有一条对称轴。

15、常见半径与直径的周长和面积的结果

第六单元百分数

一、百分数的意义和写法

(一)、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。

(二)、百分数和分数的主要联系与区别:联系:都可以表示两个量的倍比关系。

区别:

①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。

②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。

3、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示,读作百分之。

二、百分数和分数、小数的互化

(一)百分数与小数的互化:

1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位(数位不够用0补足),同时在后面添上百分号。

2、百分数化成小数:把小数点向左移动两位(数位不够用0补
足),同时去掉百分号。

(二)百分数的和分数的互化

1、百分数化成分数:先把百分数改写成分母是100的分数,能约分要约成最简分数。

2、分数化成百分数:

①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。

②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。(建议用这种方法)

(三)常见分数小数百分数之间的互化

三、用百分数解决问题(一)一般应用题

1、常见的百分率的计算方法:一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。

2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数,结果写为百分数形式。例如:例如:男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的百分之几。列式是:15÷20=15/20=75﹪

3、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题,数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:

  • 百分率前是“的”:单位“1”的量×百分率=百分率对应量
  • 百分率前是“多或少”的数量关系:单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应量

4、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。方法与分数的方法相同。

解法:

(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。

(2)算术(用除法):百分率对应量÷对应百分率=单位“1”的量

5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题;百分率前是“多或少”的关系:(比少):具体量÷(1-百分率)=单位“1”的量;例如:大米有50千克,比面粉少50﹪,面粉有多少千克。列式是:50÷(1-50﹪)(比多):具体量÷(1+百分率)=单位“1”的量例如:工人做110个零件,比原计划多做了10﹪,原计划做多少个?列式是:110÷(1+10﹪)

6、求一个数比另一个数多百分之几的方法:方法与分数的方法相同。用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几

①求一个数比另一个数多百分之几:用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。甲比乙多几分之几的问题,方法A,(甲-乙)÷ 乙(建议用)方法B,甲÷乙-100﹪例如:老师计划改40本作业,实际改了50本,实际比计划多改了百分之几?列式是:(50-40)÷40=0.25=25﹪

②求一个数比另一个数少几分之几:用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。乙比甲少几分之几的问题,

方法A,(甲-乙)÷甲(建议用)

方法B,100﹪-乙÷甲,例如:张三家用了100度电,李四家用了90度电,李四家比张三家少用百分之几?(100-90)÷100=0.1=10﹪说明:多百分之几不等于少百分之几,因为单位一不同。

7、如果甲比乙多或少a﹪,求乙比甲少或多百分之几,用a﹪÷(1±a﹪)

8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格:1×(1-a﹪)×(1+a﹪)(假设原来的价格为“1”。求变化幅度(求降价后的价格是涨价后价格的百分之几)用1-降价后又上升的百分率

第七单元:扇形统计图

一、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比)。

二、常用统计图的优点:

1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。

2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。

3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。(要在统计图上写出百分率)

三、扇形的面积大小:

在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)

四、应用:

1、会观察统计图。

2、你得到什么数学信息?
回答①、占总体的百分之几; ②、占的百分比最多,占的百分比最少; 3、你还能提什么数学问题:和*一共占百分之几。

数学广角:数与形

1、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积,这些算式还可以用平方数的形式来表示。1+3=221+3+5=321+3+5+7=42得出:从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。

2、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数(即(n2+n),或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即n×(n+1)。

六年级下册

  • 一、负数
  • 二、百分数
  • 三、圆柱与圆锥
  • 四、比例
  • 五、数学广角——鸽巢问题

一、负数

1、负数的由来:

为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出……),光有学过的013.42/5……是远远不够的。所以出现了负数,以盈利为正、亏损为负;以收入为正、支出为负。

2、负数:小于0的数叫负数(不包括0),数轴上0左边的数叫做负数。若一个数小于0,则称它是一个负数。负数有无数个,其中有(负整数,负分数和负小数)负数的写法:数字前面加负号“-”号,不可以省略。例如:-2,-5.33, -45,-2/5

3、正数:大于0的数叫正数(不包括0),数轴上0右边的数叫做正数。若一个数大于0,则称它是一个正数。正数有无数个,其中有(正整数,正分数和正小数)正数的写法:数字前面可以加正号“+”号,也可以省略不写。例如:+2,5.33,+45,2/5

4、0既不是正数,也不是负数,它是正、负数的分界限负数都小于0,正数都大于0,负数都比正数小,正数都比负数大。

5、数轴

6、比较两数的大小:

①利用数轴:负数<0<正数或左边<右边

②利用正负数含义:正数之间比较大小,数字大的就大,数字小的就小。负数之间比较大小,数字大的反而小,数字小的反而大。

第二单元百分数

一、折扣和成数

1、折扣:用于商品,现价是原价的百分之几,叫做折扣。通称“打折”。
几折就是十分之几,也就是百分之几十。例如:八折=8/10=80﹪,六五折=6.5/10=65/100=65﹪解决打折的问题,关键是先将打的折数转化为百分数或分数,然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

2、成数:几成就是十分之几,也就是百分之几十。例如:一成=1/10=10﹪八成五=5.8/10=80﹪解决成数的问题,关键是先将成数转化为百分数或分数,然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。这次衣服的进价增加一成:这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪今年小麦的收成是去年的八成五:今年小麦的收成是去年的85﹪

二、税率和利率1、税率

  • (1)纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率
  • 把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
  • (2)纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家
  • 用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。
  • (3)应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。
  • (4)税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
  • (5)应纳税额的计算方法: 应纳税额=总收入×税率收入额=应纳税额÷税率

2、利率

(1)存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

(2)储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。

(3)本金:存入银行的钱叫做本金。

(4)利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。

(5)利率:单位时间内利息与本金的比值叫做利率。

(6)利息的计算公式:利息=本金×利率×时间利率=利息÷时间÷本金×100%

(7)注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则:税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)

购物策略:

估计费用:根据实际的问题,选择合理的估算策略,进行估算。
购物策略:根据实际需要,对常见的几种优惠策略加以分析和比较,并能够最终选择最为优惠的方案学后反思:做事情运用策略的好处

第三单元圆柱和圆锥

一、圆柱

1、圆柱的形成:圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得的。圆柱也可以由长方形卷曲而得到。两种方式:1.以长方形的长为底面周长,宽为高;2.以长方形的宽为底面周长,长为高。其中,第一种方式得到的圆柱体体积较大

2、圆柱的高是两个底面之间的距离,一个圆柱有无数条高,他们的数值是相等的

3、圆柱的特征:

  • (1)底面的特征:圆柱的底面是完全相等的两个圆。
  • (2)侧面的特征:圆柱的侧面是一个曲面。
  • (3)高的特征:圆柱有无数条高

4、圆柱的切割:

①横切:切面是圆,表面积增加2倍底面积,即S增=2πr2

②竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2R,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增=4rh

5、圆柱的侧面展开图:

①沿着高展开,展开图形是长方形,如果h=2πr,则展开图形为正方形

②不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形

③无论怎么展开都得不到梯形6、圆柱的相关计算公式:

底面积:S底=πr2

底面周长:C底=πd=2πr

侧面积:S侧=2πrh

表面积:S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh

体积:V柱=πr2h

考试常见题型:

①已知圆柱的底面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面周长
②已知圆柱的底面周长和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面积
③已知圆柱的底面周长和体积,求圆柱的侧面积,表面积,高,底面积
④已知圆柱的底面面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积
⑤已知圆柱的侧面积和高,求圆柱的底面半径,表面积,体积,底面积以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆柱的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算。

无盖水桶的表面积=侧面积+一个底面积;油桶的表面积=侧面积+两个底面积烟囱、通风管的表面积=侧面积

只求侧面积:灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装侧面积+一个底面积:玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池侧面积+两个底面积:油桶、米桶、罐桶类

二、圆锥

1、圆锥的形成:圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

2、圆锥的高是顶点与底面圆心之间的距离,与圆柱不同,圆锥只有一条高

3、圆锥的特征:(1)底面的特征:圆锥的底面一个圆。(2)侧面的特征:圆锥的侧面是一个曲面。(3)高的特征:圆锥有一条高。

4、圆锥的切割:

①横切:切面是圆

②竖切(过顶点和直径):切面是等腰三角形,该等腰三角形的高是圆锥的高,底是圆锥的底面直径,面积增加两个等腰三角形的面积,即S增=2rh

5、圆锥的相关计算公式:

底面积:S底=πr2

底面周长:C底=πd=2πr

体积:V锥=1/3πr2h

考试常见题型:

①已知圆锥的底面积和高,求体积,底面周长
②已知圆锥的底面周长和高,求圆锥的体积,底面积
③已知圆锥的底面周长和体积,求圆锥的高,底面积

以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆锥的底面半径和高,再根据圆锥的相关计算公式进行计算。

三、圆柱和圆锥的关系

1、圆柱与圆锥等底等高,圆柱的体积是圆锥的3倍。

2、圆柱与圆锥等底等体积,圆锥的高是圆柱的3倍。

3、圆柱与圆锥等高等体积,圆锥的底面积(注意:是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。

4、圆柱与圆锥等底等高,体积相差2/3Sh

题型总结

①直接利用公式:分析清楚求的是表面积,侧面积、底面积、体积。分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化;分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比。

②圆柱与圆锥关系的转换:包括削成最大体积的问题(正方体,长方体与圆柱圆锥之间)。

③横截面的问题。

④浸水体积问题:(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积,等于盛水容器的底面积乘以上升的高度)容积是圆柱或长方体,正方体。

⑤等体积转换问题:一个圆柱融化后做成圆锥,或圆柱中的溶液倒入圆锥,都是体积不变的问题,注意不要乘以1/3

典型题:

1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形,它的高是底面直径的π倍,即h=C=πd,它的侧面积是S侧=h2

2、圆柱的底面半径扩大2倍,高不变,表面积扩大2倍,体积扩大4倍

3、圆柱的底面半径扩大2倍,高也扩大2倍,表面积扩大4倍,体积扩大8倍。

4、圆柱的底面半径扩大3倍,高缩小3倍,表面积不变,体积扩大3倍。

第四单元比例

第四单元比例

1、比的意义

(1)两个数相除又叫做两个数的比

(2)“:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

(3)同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。

(4)比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。

(5)比的后项不能是零。

(6)根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相

2、比的基本性质:比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。

3、求比值和化简比:求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。

4、按比例分配:在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少

5、比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。

6、比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

7、比和比例的区别

(1)比表示两个量相除的关系,它有两项(即前、后项);比例表示两个比相等的式子,它有四项(即两个内项和两个外项)。

(2)比有基本性质,它是化简比的依据;比例也有基本性质,它是解比例的依据。

8、成正比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。用字母表示x/y=k(一定)

9、成反比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定)

10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法:关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定,如果商一定,就成正比例;如果积一定,就成反比例。

11、比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。

12、比例尺的分类(1)数值比例尺和线段比例尺(2)缩小比例尺和放大比例尺
13、图上距离:图上距离/实际距离=比例尺实际距离×比例尺=图上距离图上距离÷比例尺=实际距离

14、应用比例尺画图的步骤:

  • (1)写出图的名称
  • (2)确定比例尺;
  • (3)根据比例尺求出图上距离;
  • (4)画图(画出单位长度)
  • (5)标出实际距离,写清地点名称
  • (6)标出比例尺

15、图形的放大与缩小:形状相同,大小不同。

16、用比例解决问题:根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系,并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。
17、常见的数量关系式:(成正比例或成反比例)单价×数量=总价,单产量×数量=总产量,速度×时间=路程,工效×工作时间=工作总量

18、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。

19、播种的总公顷数一定,每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例?
答:每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数已知播种的总公顷数一定,就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的,所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系,并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。

第五单元数学广角-鸽巢问题

1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理,在解决数学问题时有非常重要的作用。

什么是鸽巣原理,先从一个简单的例子入手,把3个苹果放在2个盒子里,共有四种不同的放法。

无论哪一种放法,都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。这个结论是在“任意放法”的情况下,得出的一个 “必然结果”。类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。如果有6封信,任意投入5个信箱里,那么一定有一个信箱至少有2封信。我们把这些例子中的“苹果”、“鸽”、“信”看作一种物体, 把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣,可以得到鸽巣原理最简单的表达形式

利用公式进行解题:物体个数÷鸽巣个数=商..余数至少个数=商+1

2、摸2个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色数多1。物体数=颜色数×(至少数-1)+1

②极端思想:用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球,再无论摸出一个什么颜色的球,都能保证一定有两个球是同色的。

③公式:
两种颜色:2+1=3(个)
三种颜色:3+1=4(个)
四种颜色:4+1=5(个)